MRU - gráficos do MRU

Gráficos do MRU

Sabe-se que o movimento de um corpo pode ser definido por uma expressão matemática, por uma tabela ou também por uma representação gráfica. A forma gráfica é muito importante pois pode fornecer muitos detalhes de um movimento, ou ainda, facilitar a comparação de movimentos de corpos diferentes.

Gráfico v x t

No movimento uniforme, a velocidade é constante e o diagrama da velocidade em função do tempo v = f(t) é uma reta paralela ao eixo dos tempos.

- Para o movimento uniforme progressivo tem-se:

 - Para o movimento uniforme retrógrado tem-se:

É importante observar, que a área (A) compreendida entre o gráfico e o eixo dos tempos é numericamente igual ao valor do deslocamento do corpo.

Área do retângulo = base x altura;

Deslocamento = v x t

Gráfico S x t

Ao observar que a função horária do espaço no movimento uniforme é do 1º. grau (S = S_o + v.t), conclui-se que o gráfico S x t é uma reta inclinada.

- Se o movimento é progressivo, a reta é crescente ou inclinada para cima;

- Se o movimento é retrógrado, a reta é decrescente ou inclinada para baixo;

É fácil observar no gráfico que a posição inicial do móvel é indicada pelo ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas (eixo S) e que a declividade da reta representa a velocidade escalar do móvel:

Exercícios resolvidos

1- O gráfico abaixo representa a velocidade de veículo numa viagem em função do tempo. Determine:

a) o deslocamento do veículo na viagem;

b) a velocidade média do veículo em km/h.

Resolução

Observa-se, no gráfico, que o veículo descreveu dois movimentos uniformes sucessivos numa viagem de 5 horas: mantém a velocidade de 90 km/h por 3 horas e, a seguir, mantém a velocidade de 60 km/h por 2 horas.

Na primeira etapa, tem-se: DS₁ = v₁ . t₁ => DS₁ = 90 . 3 => DS₁ = 270 km

Na segunda etapa, tem-se: DS₂ = v₂ . t₂ => DS₂ = 60 . 2 => DS₂ = 120 km

Na viagem toda, tem-se:

Ds_Total =Ds₁ + Ds₂ = 270 + 120

DS_Total = 390 km

É possível determinar o deslocamento do veículo calculando a área do gráfico conforme a resolução a seguir:

Ds_Total = área 1 + área 2

Ds_Total = 3 .  90 + 2 . 60

Ds_Total 270 + 120

DS_Total = 390 km

2- O diagrama a seguir apresenta a relação entre o espaço ocupado por um móvel e o tempo.

De acordo com o gráfico, determine:

a) A posição inicial e a velocidade do móvel;

b) a função horária do espaço;

c) a posição do móvel no instante 13 s.

Resolução

a) Pelo gráfico, sabe-se que o movimento é uniforme. Para determinar a posição inicial S_o, basta verificar em qual ordenada a reta corta o eixo S. Assim, tem-se: S_o = -23 m.

A velocidade pode ser determinada aplicando a função horária da posição:

S = S_o + vt  onde, para t = 8 s tem-se S = 25 m. Então:

25 = -23 + v (8)

48 = 8.v

v = 6 m/s

b) Para escrever a função horária da posição do móvel, deve-se substituir os valores constantes, S_o e v. Assim, tem-se:

S = -23 + 6.t

c) Substituindo na função horária da posição t = 18 s, tem-se:

S = -23 + 6.(18)

S = -23 + 108

S = 85 m

MRU - função horária

Definição

No cotidiano observam-se muitos corpos em movimento. Ao observar atentamente os movimentos que ocorrem, é possível verificar que alguns possuem a característica de possuírem a velocidade com módulo constante ao longo do tempo. Neste caso, o movimento é chamado de uniforme.

O movimento uniforme é aquele em que a velocidade escalar instantânea

é constante e diferente de zero, sendo igual à velocidade escalar média.

Função horária

Considere um automóvel que se move em estrada, com uma velocidade constante de 70 km/h. Pode-se observar que após 1 hora de movimento ele terá percorrido 70 km, após 2 horas terá percorrido 140 km e em 3 horas, 210 km.

Para se determinar o deslocamento (ΔS), pode-se multiplicar a velocidade e o tempo de movimento. Assim tem-se:

para t = 1 h → ΔS = 70 . 1 = 70 km

para t = 2 h → ΔS = 70 . 2 = 140 km

para t = 3 h → ΔS = 70 . 3 = 210 km

Assim, pode-se concluir que o deslocamento de um corpo em movimento uniforme é determinado por:

ΔS = v . t (I)

Onde:

ΔS — deslocamento

v — velocidade

t — tempo de movimento

Pode-se alterar a equação sabendo que o deslocamento (ΔS) é definido pela diferença entre as posições final (S) e inicial (S_o) ocupadas pelo corpo.

ΔS = S - S_o (II)

Assim, substituindo a equação II na equação I ,tem-se:

S – S_o = v . t ==>  S = S_o + v . t

Então, a função horária do movimento uniforme é: S = S_o + v . t

A função horária do movimento uniforme é do primeiro grau em que S_o e v são constantes e se v > 0 o movimento é progressivo e se v < 0 o movimento é retrógrado.

Os exemplos a seguir apresentam as grandezas em unidades do SI.

S = So + v . t	So	v	progressivo/retrógrado
S = 2 + 3 t	2 m	3 m/s	Progressivo
S = 40 – 15 t	40 m	-15 m/s	Retrógrado
S = 0,4 + 0,2 t	0,4 m	0,2 m/s	Progressivo
S = t	0	1 m/s	Progressivo
S = - 4 t	0	-4 m/s	Retrógrado
S = 3 – t	3 m	- 1 m/s	Retrógrado

Exercícios Resolvidos

1- Considere que um corpo se movimenta segundo a equação S = 8 + 3 t (no SI). Determine:

a) a posição inicial e a velocidade;

b) a posição no instante 4 s;

c) o instante em que se encontra na posição 32 m;

d) o deslocamento após 12 s.

Resolução:

a) Comparando a equação dada com a equação horária, obtêm-se os valores da posição inicial e da velocidade.

 S_o = 8 m e v = 3 m/s

b) Substitui-se t por 3 na equação dada:

S = 8 + 3 . (4) = 20 m

c) Substitui-se S por 32 na equação dada:

32 = 8 + 3 t  =>  32 – 8 = 3 t  =>  24 = 3 t

t = 8 s

d) Para determinar o deslocamento do corpo após 12 s, é mais fácil aplicar a equação DS = v . t, assim, tem-se:

DS = 3 . 12

DS = 36 m

2- O movimento de um corpo é dado pela tabela a seguir:

t (s)	0	1	2	3	4
S (m)	44	40	36	32	28

Determine:

a) o espaço inicial S_o e a velocidade escalar v do movimento;

b) a função horária do movimento;

c) o instante que o corpo passa pela origem dos espaços.

Resolução:

a) Na tabela, observa-se que no instante t = 0 o espaço do corpo é: S_o = 44 m.

Para o cálculo da velocidade aplica-se a função horária do espaço, substituindo t = 3 s e S = 32 m:

S = S_o + v t

32 = 44 + v . 3

-12 = 3 v

v = - 4 m/s

b) A função horária do movimento uniforme é S = S_o + v t. Substituindo S_o e v, tem-se:

S = 44 – 4 t

c) Na origem das posições (S = 0) o instante é:

S = 44 – 4 t

0 = 44 – 4 t

4 t = 44

t = 11 s

LIVRO 1 - página 133 a 135

Classificação dos Movimentos

Em muitas situações, desejam-se saber qual o sentido do movimento do corpo ou o que ocorre com sua velocidade. Pode-se classificar um movimento verificando a velocidade e a aceleração do corpo, seus sinais ou a variação de seus módulos.

 Quanto à velocidade

 Uniforme

O movimento é denominado de uniforme quando o móvel desenvolve velocidade constante.

Variado

É considerado o movimento em que existe aceleração escalar não nula, e assim a velocidade do móvel é variável.

 Quanto ao sentido do movimento

 Progressivo

Ocorre quando o sentido do movimento coincide com o sentido adotado para a trajetória. Nesse caso a velocidade do móvel é positiva.

Retrógrado.

É considerado retrógrado o movimento que ocorre no sentido contrário ao da trajetória. Nesse caso a velocidade do móvel é negativa.

Quanto à mudança da velocidade

Acelerado

O movimento é acelerado quando o valor absoluto da velocidade aumenta e  neste caso os sinais da velocidade e da aceleração são iguais.

Retardado

No movimento retardado, o valor absoluto da velocidade diminui e os sinais da velocidade e da aceleração são diferentes.