MINHAS AULAS DE FÍSICA

domingo, 18 de março de 2012

MRU - velocidade relativa e encontro entre dois móveis

Velocidade relativa

Como já visto, o movimento é relativo, ou seja, depende de um referencial. Ao estudar um movimento, pode-se alterar o referencial, sem prejuízo ao fenômeno observado.

Considere dois móveis A e B em movimento numa mesma trajetória com velocidades iguais a 60 km/h e 80 km/h.

Observa-se que os corpos se afastam com uma velocidade de 20 km/h. Mas o movimento de afastamento é idêntico para ambos os corpos? Não. O carro A afasta-se de B movimentando-se contra a trajetória e o carro B afasta-se de A no sentido da trajetória.

O movimento relativo entre dois móveis é determinado tomado um deles como referência, assim ele estará em repouso em relação a si próprio enquanto o outro se aproxima ou se afasta, com determinada velocidade, denominada, velocidade relativa.

Para se determinar a velocidade de A em relação a B deve-se executar a diferença entre as velocidades de A e B, respectivamente.

V_AB = V_A – V_B

Para se determinar a velocidade de B em relação a A deve-se executar a diferença entre as velocidades de B e A, respectivamente.

V_BA = V_B – V_A

Para generalizar, pode-se aplicar a seguinte equação:

Onde:

- se os corpos possuem o mesmo sentido utiliza-se (-).

- se os corpos possuem os sentidos opostos utiliza-se (+).

Exercício resolvido

Três móveis A, B e C, encontram-se numa trajetória retilínea descrevendo movimentos uniformes de acordo com a figura a seguir:

Determine:

a) a velocidade de A em relação a B;

b) a velocidade de B em relação a C;

c) a velocidade de C em relação a A.

Resolução

a) v_AB = v_A - v_B

v_AB = 5 – 8

v_AB = - 3 m/s

b) v_BC = v_B – v_C

v_BC = 8 – (-4)

v_BC = 12 m/s

c) v_CA = v_C - v_A

v_CA = -4 - 5

v_CA = - 9 m/s

Encontro de dois corpos

Considere dois corpos A e B numa mesma trajetória retilínea. Quais as condições necessárias para ocorrer o encontro deles?

São necessárias duas condições satisfeitas:

- estarem na mesma posição e

- no mesmo instante

S_A = S_B

Exercícios resolvidos

1- Dois carros, A e B, de dimensões desprezíveis, movem-se em movimento uniforme e no mesmo sentido com velocidades iguais a 20 m/s e 15 m/s, respectivamente. No instante t = 0, os carros encontram-se nas posições indicadas na figura.

Determine:

a) depois de quanto tempo A alcança B;

b) em que posição ocorre o encontro.

Resolução:

a) Primeiro escreve-se a função horária da posição de cada corpo:

S = S_o + v.t

S_A = 30 + 20.t

S_B = 180 + 15.t

Agora se igualam as funções:

S_A = S_B

30 + 20.t = 180 + 15.t

5.t = 150

t = 30 s

b) Para determinar a posição do encontro, deve-se substituir o valor do instante de encontro em uma das funções horárias. Usando a função horária do espaço de A, tem-se:

S_A = 30 + 20.t

S_A = 30 + 20. 30

S_A = 630 m

Os corpos levam 30 s para se encontrarem na posição 630 m.

2- Duas cidades, A e B, distam entre si 400 km. Da cidade A parte um móvel P dirigindo-se à cidade B; no mesmo instante, parte do B outro móvel Q dirigindo-se a A. Os móveis P e Q executam movimentos uniformes e suas velocidades escalares são de 30 km/h e 50 km/h, respectivamente. A distância da cidade A ao ponto de encontro dos móveis P e Q, em km, vale:

a) 120

b) 150

c) 200

d) 240

e) 250

Resolução

Primeiro escreve-se a função horária da posição de cada corpo:

S = S_o + v.t

S_P = 0 + 30.t

S_Q = 400 - 50.t (não esquecer que o movimento é retrógrado ® V < 0)

Agora se igualam as funções:

S_P = S_Q

30.t = 400 - 50.t

80.t = 400

t = 5 h

Para determinar a posição do encontro, deve-se substituir o valor do instante de encontro em uma das funções horárias.

S_P = 30.t = 30 . 5 = 150 km

Alternativa B

Encontro de dois corpos usando a velocidade relativa

É possível determinar o tempo de encontro usando a velocidade relativa.

Para determinar o tempo necessário para ocorrer o encontro deve-se operar da seguinte forma:

- determina-se a velocidade relativa entre os corpos;

- determina-se o deslocamento relativo, que é a distância entre eles;

- determina-se o tempo aplicando a equação:

Exercício resolvido

Dois carros, A e B, movem-se no mesmo sentido, em uma estrada reta, com velocidades constantes V_A = 100 km/h e V_B = 80 km/h, respectivamente.

a) Qual é, em módulo, a velocidade do carro B em relação a um observador no carro A?

b) Em um dado instante, o carro B está 600 m à frente do carro A. Quanto tempo, em horas, decorre até que A alcance B?

Resolução

a) O módulo da velocidade do caro B em relação ao carro A é:

v_R| = | v_B - v_A |

|v_R| = |80 - 100|

|v_R| = 20 km/h =20/3,6 m/s

b) O deslocamento relativo é a distância entre eles:

DS_R = 600 m

O tempo para ocorrer o encontro é:

DS_R = |v_R| . t

600 = 20/3,6 . t

t = 108 s

Resposta: O módulo da velocidade do carro B em relação ao carro A é 20 km/h e o tempo para que o carro A alcance o carro B é 108 s

MRU - gráficos do MRU

Gráficos do MRU

Sabe-se que o movimento de um corpo pode ser definido por uma expressão matemática, por uma tabela ou também por uma representação gráfica. A forma gráfica é muito importante pois pode fornecer muitos detalhes de um movimento, ou ainda, facilitar a comparação de movimentos de corpos diferentes.

Gráfico v x t

No movimento uniforme, a velocidade é constante e o diagrama da velocidade em função do tempo v = f(t) é uma reta paralela ao eixo dos tempos.

- Para o movimento uniforme progressivo tem-se:

- Para o movimento uniforme retrógrado tem-se:

É importante observar, que a área (A) compreendida entre o gráfico e o eixo dos tempos é numericamente igual ao valor do deslocamento do corpo.

Área do retângulo = base x altura;

Deslocamento = v x t

Gráfico S x t

Ao observar que a função horária do espaço no movimento uniforme é do 1º. grau (S = S_o + v.t), conclui-se que o gráfico S x t é uma reta inclinada.

- Se o movimento é progressivo, a reta é crescente ou inclinada para cima;

- Se o movimento é retrógrado, a reta é decrescente ou inclinada para baixo;

É fácil observar no gráfico que a posição inicial do móvel é indicada pelo ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas (eixo S) e que a declividade da reta representa a velocidade escalar do móvel:

Exercícios resolvidos

1- O gráfico abaixo representa a velocidade de veículo numa viagem em função do tempo. Determine:

a) o deslocamento do veículo na viagem;

b) a velocidade média do veículo em km/h.

Resolução

Observa-se, no gráfico, que o veículo descreveu dois movimentos uniformes sucessivos numa viagem de 5 horas: mantém a velocidade de 90 km/h por 3 horas e, a seguir, mantém a velocidade de 60 km/h por 2 horas.

Na primeira etapa, tem-se: DS₁ = v₁ . t₁ => DS₁ = 90 . 3 => DS₁ = 270 km

Na segunda etapa, tem-se: DS₂ = v₂ . t₂ => DS₂ = 60 . 2 => DS₂ = 120 km

Na viagem toda, tem-se:

Ds_Total =Ds₁ + Ds₂ = 270 + 120

DS_Total = 390 km

É possível determinar o deslocamento do veículo calculando a área do gráfico conforme a resolução a seguir:

Ds_Total = área 1 + área 2

Ds_Total = 3 . 90 + 2 . 60

Ds_Total 270 + 120

DS_Total = 390 km

2- O diagrama a seguir apresenta a relação entre o espaço ocupado por um móvel e o tempo.

De acordo com o gráfico, determine:

a) A posição inicial e a velocidade do móvel;

b) a função horária do espaço;

c) a posição do móvel no instante 13 s.

Resolução

a) Pelo gráfico, sabe-se que o movimento é uniforme. Para determinar a posição inicial S_o, basta verificar em qual ordenada a reta corta o eixo S. Assim, tem-se: S_o = -23 m.

A velocidade pode ser determinada aplicando a função horária da posição:

S = S_o + vt onde, para t = 8 s tem-se S = 25 m. Então:

25 = -23 + v (8)

48 = 8.v

v = 6 m/s

b) Para escrever a função horária da posição do móvel, deve-se substituir os valores constantes, S_o e v. Assim, tem-se:

S = -23 + 6.t

c) Substituindo na função horária da posição t = 18 s, tem-se:

S = -23 + 6.(18)

S = -23 + 108

S = 85 m

MRU - função horária

Definição

No cotidiano observam-se muitos corpos em movimento. Ao observar atentamente os movimentos que ocorrem, é possível verificar que alguns possuem a característica de possuírem a velocidade com módulo constante ao longo do tempo. Neste caso, o movimento é chamado de uniforme.

O movimento uniforme é aquele em que a velocidade escalar instantânea

é constante e diferente de zero, sendo igual à velocidade escalar média.

Função horária

Considere um automóvel que se move em estrada, com uma velocidade constante de 70 km/h. Pode-se observar que após 1 hora de movimento ele terá percorrido 70 km, após 2 horas terá percorrido 140 km e em 3 horas, 210 km.

Para se determinar o deslocamento (ΔS), pode-se multiplicar a velocidade e o tempo de movimento. Assim tem-se:

para t = 1 h → ΔS = 70 . 1 = 70 km

para t = 2 h → ΔS = 70 . 2 = 140 km

para t = 3 h → ΔS = 70 . 3 = 210 km

Assim, pode-se concluir que o deslocamento de um corpo em movimento uniforme é determinado por:

ΔS = v . t (I)

Onde:

ΔS — deslocamento

v — velocidade

t — tempo de movimento

Pode-se alterar a equação sabendo que o deslocamento (ΔS) é definido pela diferença entre as posições final (S) e inicial (S_o) ocupadas pelo corpo.

ΔS = S - S_o (II)

Assim, substituindo a equação II na equação I ,tem-se:

S – S_o = v . t ==> S = S_o + v . t

Então, a função horária do movimento uniforme é: S = S_o + v . t

A função horária do movimento uniforme é do primeiro grau em que S_oe v são constantes e se v > 0 o movimento é progressivo e se v < 0 o movimento é retrógrado.

Os exemplos a seguir apresentam as grandezas em unidades do SI.

S = S_o + v . t	S_o	v	progressivo/retrógrado
S = 2 + 3 t	2 m	3 m/s	Progressivo
S = 40 – 15 t	40 m	-15 m/s	Retrógrado
S = 0,4 + 0,2 t	0,4 m	0,2 m/s	Progressivo
S = t	0	1 m/s	Progressivo
S = - 4 t	0	-4 m/s	Retrógrado
S = 3 – t	3 m	- 1 m/s	Retrógrado