quarta-feira, 24 de setembro de 2025

Grandezas Físicas e Unidades (Parte 2): Incerteza, algarismos significativos e análise dimensional

🎯 Objetivos de Aprendizagem — Parte 2
  • Apresentar resultados de medição no formato x ± Δx com unidades e algarismos coerentes.
  • Aplicar regras de algarismos significativos em operações e arredondamentos.
  • Distinguir tipos de erro/inciperteza e estimar incerteza de instrumentos.
  • Propagar incertezas em soma/subtração e produto/divisão.
  • Validar equações por análise dimensional e detectar inconsistências.

1) Medição, erro e incerteza

Toda medida tem incerteza. Ela pode vir do instrumento (resolução), do método e do observador.

  • Resolução (ou menor divisão): define a menor variação detectável. Ex.: régua de 1 mm → resolução 1 mm.
  • Leitura: uma boa prática é estimar metade da menor divisão quando apropriado.
  • Notação: x ± Δx, onde Δx representa a incerteza (absoluta) estimada.

2) Algarismos significativos (AS)

Regras essenciais:

  • Todos os dígitos diferentes de zero são significativos.
  • Zeros entre dígitos significativos são significativos (101,3 → 4 AS).
  • Zeros à esquerda não são significativos (0,0045 → 2 AS).
  • Zeros à direita no decimal são significativos (2,300 → 4 AS).

Operações:

  • + / −: o resultado deve ter o mesmo número de casas decimais da medida menos precisa.
  • × / ÷: o resultado deve ter o mesmo número de AS da medida com menor AS.

3) Arredondamento e apresentação

  • Se o dígito seguinte < 5 → mantém-se; ≥ 5 → aumenta-se 1 no último dígito mantido.
  • Apresente a incerteza com 1 ou 2 AS e ajuste o valor para a mesma casa decimal.
  • Relate sempre com unidade: x = (12,3 ± 0,2) cm.

4) Propagação de incertezas (aproximação de 1º ordem)

  • Soma/Subtração: Δz = √(Δx² + Δy²) quando independentes (ou Δz ≈ Δx + Δy de forma conservadora).
  • Produto/Divisão: incertezas relativas somam: (Δz/|z|) ≈ (Δx/|x|) + (Δy/|y|).
  • Potência: z = xⁿ ⇒ (Δz/|z|) ≈ |n| (Δx/|x|).

5) Análise dimensional

Verifica a consistência de uma equação comparando dimensões em ambos os lados. Só se pode somar grandezas com a mesma dimensão.

Exemplo: período do pêndulo simples T = 2π√(L/g). Dimensões: [T] à esquerda. À direita: √([L]/[L T⁻²]) = √(T²) = [T] ✔.

Observação: funções trigonométricas, exponencial e logaritmo exigem argumentos adimensionais.

6) Exemplos resolvidos

  1. Apresentando medição
    Um comprimento medido com régua de 1 mm foi lido como 12,3 cm. Relate com incerteza.
    Solução: Δx ≈ ±0,1 cm (metade da menor divisão de 1 mm = 0,1 cm). Resultado: (12,3 ± 0,1) cm.
  2. AS em operações
    (2,45 m) × (3,1 m) = ?
    Solução: 2,45 (3 AS); 3,1 (2 AS) ⇒ resultado com 2 AS. 2,45 × 3,1 = 7,595 → 7,6 m².
  3. Propagação (produto)
    x = 2,00 ± 0,02 m, y = 3,0 ± 0,1 m. z = x·y.
    Solução: z = 6,00 m². (Δz/|z|) ≈ (0,02/2,00) + (0,1/3,0) = 0,01 + 0,0333 = 0,0433 → Δz ≈ 0,0433·6,00 ≈ 0,26 m².
    Relate: z = (6,00 ± 0,26) m² ≈ (6,0 ± 0,3) m².
  4. Validação dimensional
    Verifique E = ½ m v³.
    Solução: [E] real é M L² T⁻²; à direita: M · (L T⁻¹)³ = M L³ T⁻³ → inconsistente. Correto é E = ½ m v².

7) Exercícios propostos

  1. (AS) Determine o número de AS: a) 0,0400; b) 120,30; c) 3,010 × 10³.
  2. (Apresentação) Um termômetro tem resolução de 0,5 °C. Registre: 36,7 °C.
  3. (Propagação — soma) L = (12,5 ± 0,2) cm e W = (7,80 ± 0,05) cm. A = L + W.
  4. (Propagação — produto) D = (2,0 ± 0,1) cm e t = (4,00 ± 0,05) s. v = D/t.
  5. (Análise dimensional) Verifique se P = m g h² tem dimensão de energia.
Gabarito (clique para ver)
  1. a) 3 AS (os zeros à direita no decimal contam); b) 5 AS; c) 4 AS.
  2. (36,7 ± 0,5) °C.
  3. A = 20,30 cm; ΔA = √(0,2² + 0,05²) ≈ 0,206 cm ≈ 0,21 cm. Resultado: (20,30 ± 0,21) cm.
  4. v ≈ 0,500 cm/s. Incerteza relativa ≈ (0,1/2,0) + (0,05/4,00) = 0,05 + 0,0125 = 0,0625 → Δv ≈ 0,031 cm/s. Resultado: (0,500 ± 0,031) cm/s ≈ (0,50 ± 0,03) cm/s.
  5. [P] = [M][L][T⁻²][L] = M L² T⁻² (se h¹). Com h² fica M L³ T⁻² → não é energia. Correto: P = m g h.